MATEMATİK

KAREKÖKLÜ SAYILAR
İRRASYONEL (RASYONEL OLMAYAN) SAYILAR
Rasyonel sayılar kümesi, sayı ekseninde sık olmasına rağmen sayı eksenini tam dolduramamaktadır. Çünkü sayı doğrusu üzerinde görüntüsü olduğu halde rasyonel olmayan sayılar vardır. Şimdi bu sayıları inceleyelim.
Karesi 2 olan a sayısını ele alalım.
a2 = 2 ise, a sayısını* şeklinde gösterebilir ve “karekök iki” diye okuruz. Acaba bu sayısı hangi sayılar arasındadır?
*
Bunu inceleyelim.
12 = 1 x 1 = 1
(1,5)2 = 1,5 x 1,5 = 2,25 tir.

Buna göre sayısı 1 ile 1,5 arasındadır, sayı doğrusu üzerinde görüntüsü olduğu halde rasyonel sayı değildir. Çünkü iki tam sayının bölümü şeklinde yazılamaz.
İşte sayı ekseni üzerinde görüntüsü olduğu halde, rasyonel olmayan sayılarına irrasyonel (rasyonel olmayan) sayılar denir. “I” ile gösterilir.
İrrasyonel sayılar kümesi ile rasyonel sayılar kümesinin birleşim kümesine de reel sayılar (gerçek sayılar) kümesi denir. R ile gösterilir.
*
*
A. TANIM
a pozitif reel sayı olmak üzere,
ifadesine kareköklü ifade denir.
*
*
B. KAREKÖK ALMA
Verilen sayının hangi sayının karesi olduğunu bulma işlemi karekök alma işlemidir.


Bazı sayıların karesini bilmeniz sizlere sorulan soruları cevaplamakta yarar sağlayacaktır.

*
*
C. KAREKÖKLÜ SAYILARDA DÖRT İŞLEM
1. Toplama - Çıkarma
Karekök içindeki sayıların birbirine eşit olduğu ifadelerde kat sayıları toplanır ya da çıkarılır. Bulunan sonuç kareköklü ifadenin kat sayısı olur.

*
2. Çarpma
a ve b, birer pozitif reel sayı olmak üzere;

*
*
3. Bölme
Uygun koşullarda,

*
*
D. PAYDAYI RASYONEL YAPMA
Bölüm şeklindeki kareköklü bir ifade de, paydayı karekökten kurtarmaya, paydayı rasyonel yapma denir.
Uygun koşullar altında;

*
*
E. KAREKÖKLÜ SAYILARDA SIRALAMA
Pozitif kareköklü sayılarda, karekök içindeki sayıların büyüklüğüne göre sıralama yapılır. Şayet karekökün dışında karekökün kat sayısı varsa ilk önce bu kat sayı içeri alınır, ondan sonra sıralama yapılır

Matematik Konu Anlatımları


Basit Eşitsizlikler ve Sıralama Konu Anlatımı
Binom Açılımı Konu Anlatımı
Bölünebilme Konu Anlatımı
Çarpanlara Ayırma Konu Anlatımı
Denklem Çözme Konu Anlatımı
Eşitsizlikler Konu Anlatımı
Fonksiyonlar Konu Anlatımı
İkinci Dereceden Denklemler Konu Anlatımı
İkinci Derece Bir Bilinmeyenli Denklemler Konu Anlatımı
İkinci ve Üçüncü Dereceden Denklemler Konu Anlatımı
Modüler Aritmetik ve İşlem Konu Anlatımı
Kartezyen Bağıntı Konu Anlatımı
Kartezyen Çarpımı Konu Anlatımı
Kombinasyon Konu Anlatımı
Köklü İfadeler Konu Anlatımı
Kümeler Konu Anlatımı
Logaritma Konu Anlatımı
Mantık Konu Anlatımı
Mutlak Değer Konu Anlatımı
OBEB-OKEK Konu Anlatımı
Olasılık Konu Anlatımı
Paraboller Konu Anlatımı
Permütasyon Konu Anlatımı
Polinomlar Konu Anlatımı
Problemler Konu Anlatımı
Rasyonel ve Ondalıklı Sayılar Konu Anlatımı
Sayı Sistemleri Konu Anlatımı
Sayılar Konu Anlatımı
Trigonometri Konu Anlatımı
Üslü Sayılar Konu Anlatımı

Konu Anlatımları İçin www nurmekan com/matematik-konu-anlatimlari-f-105.html

www nurmekan com

TRİGONOMETRİ
1985 – 1997 YILLARINDA ÜNİVERSİTE
SINAVINDA
ÇIKAN SORULAR





S.1) a = sin 5°
b = sin 85°
c = sin 105° olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur.

A) a<b<c B) a<c<b C) b<a<c
D) b<c<a E) c<b<a
(1985/II)

C.1) Yanıt B dir.
Gerekli Kavram ve Bilgiler :
sin (180°-a) = sin a

Çözüm :
c = sin 105° = sin (180° - 75°) = sin 75° dir.
sin 5° < sin 75° < sin 85° olduğundan, a<c<b dir.


S.2) toplamının değeri nedir ?

A) 1+ B) C)

D) E)
(1985/II)

C.2) Yanıt C dir.
Gerekli Kavram ve Bilgiler :

cosa = sin (90°-a)
sin a + sin b =
2 sin a . cos a = sin 2 a
sin 45° = , sin 30° = , cos 30°=




Çözüm :


= = .................................(I)

= ..........................(II) ve (III)

= .....................(IV)


= 4 . = 2



S.3) cos2 (x – y) + sin2 (x + y) nin eşiti aşağıdakilerden hangisidir ?

A) 1 + cos2x sin2y B) 1 + sin2x cos2y C) 1 + sin2x sin2y
D) 1 + cos2x cos2y E) 1 – sin2x sin2y

(1986/II)

C.3) Yanıt C’ dir.
Gerekli Kavram ve Bilgiler :

sin2 a= 1 – cos2 a
cos (x-y) = cos x cos y + sin x sin y
cos (x+y) = cos x cos y – sin x sin y
a2-b2 = (a+b) . (a-b)u
2 sin a cos a = sin 2a

Çözüm :

cos2 (x-y) + sin2 (x+y)
= cos2 (x-y) + 1 – cos2 (x+y) ............ (I)
= (cos x cos y + sin x sin y)2 – (cos x cos y – sin x sin y)2 +1 ..................(II) ve (III)
= (2 cos x cos y) . (2 sin x sin y) + 1 ................(IV)
= 1 + 2 sin x cos x . 2 sin y cos y
= 1 + sin2x sin2y .........................(V)



S.4) Aşağıdaki ABC üçgeninde

|BC| = 2 cm
AB ^ AC
AD ^ BC a
ABD açısının ölçüsü a
|AD| nin değeri aşağıdakilerden hangisidir ?

A) sin2a B) 1 - sin2a C) 1 + sin2a
D) 2 a- sin2a E) 2 + sin2a

(1986/II)

C.4) Yanıt A’ dır.


c
x b
a



ABD dik üçgeninde,

sin a = &THORN; x = c. sin a dır.
ABD dik üçgeninde,
cos a = &THORN; c = 2. cos a dır.
x = c. sin a ifadesinde, c yerine 2 cos a yazılırsa x = 2 cos a sin a bulunur.
sin 2a = 2 sin a cos a olduğundan, x = 2 cos a sin a = sin 2a dır.


S.5) cos2x + cos2x = sin2x+sin2x denklemini sağlayan en küçük dar açının tanjantı kaçtır?

A) B) C)
D) E)
(1986/II)

C.5) Yanıt A’ dır.
Gerekli Kavram ve Bilgiler :

cos 2x = cos2 x – sin2 x = 2 cos2x-1 = 1 – 2 sin2 x



0°<x<90° ise tan x > 0 dır.


Çözüm :

cos2 x + cos 2x = sin2 x + sin 2x
cos2 x – sin2 x + cos 2x = sin 2x

cos 2x

2 cos 2x = sin 2x......................................(I)
2 =

tan 2x = 2 ................................................(I I)

...........................................(III)

Buna göre, tan2 x + tan x – 1 = 0 dır.

tan2 x + tan x – 1 = 0 tan x = dir. 0° <x<90° olduğundan,
tan x = dir. ...................(IV)



S.6) sin2x = cos35° denkleminin [0°, 90°] aralığındaki kökü kaç derecedir ?

A) 70 B) 65 C) 37,5 D) 27,5 E) 17,5

(1987 /II)

C.6) Yanıt D’ dir.

sin 2x = cos 35° sin 2x = sin (90° - 35°)
sin 2x = sin 55°
2x = 55°
x = (27,5)°

PERMÜTASYON

A. SAYMANIN TEMEL KURALI

1) Ayrık iki işlemden biri m yolla, diğeri n yolla yapılabiliyorsa, bu işlemlerden biri veya diğeri m + n yolla yapılabilir.

2) İki işlemden birincisi m yolla yapılabiliyorsa ve ilk işlem bu m yoldan birisiyle yapıldıktan sonra ikinci işlem n yolla yapılabiliyorsa bu iki işlem birlikte m . n yolla yapılabilir.



B. FAKTÖRİYEL

1 den n ye kadar olan sayma sayılarının çarpımına n faktöriyel denir ve n! biçiminde gösterilir.

0! = 1 olarak tanımlanır.

1! = 1

2! = 1 . 2

.................

.................

.................

n! = 1 . 2 . 3 . ... . (n – 1) . n

Ü n! = n . (n – 1)!

Ü (n – 1)! = (n – 1) . (n – 2)! dir.



C. TANIM

r ve n sayma sayısı ve r £ n olmak üzere, n elemanlı bir kümenin r elemanlı sıralı r lilerine bu kümenin r li permütasyonları denir.

n elemanlı kümenin r li permütasyonlarının sayısı,

Ü 1) P(n, n) = n!

2) P(n, 1) = n

3) P(n, n – 1) = n! dir.



D. TEKRARLI PERMÜTASYON

n tane nesnenin; n1 tanesi 1. çeşitten, n2 tanesi 2. çeşitten, ... , nr tanesi de r yinci çeşitten olsun.

n = n1 + n2 + n3 + ... + nr

olmak üzere, bu n tane nesnenin n li permütasyonlarının sayısı,

E. DAİRESEL (DÖNEL) PERMÜTASYON

n tane farklı elemanın dönel (dairesel) sıralanmasına, n elemanın dairesel sıralaması denir.

n elemanın dairesel sıralamalarının sayısı :

(n – 1)! dir.



n tane farklı anahtarın yuvarlak (halka biçimindeki) bir anahtarlığa sıralanmalarının sayısı :



II. KOMBİNASYON

TANIM

r ve n birer doğal sayı ve r £ n olmak üzere, n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı alt kümelerinin her birine, A kümesinin r li kombinasyonu (gruplaması) denir.

n elemanın r li kombinasyonlarının sayısı


Permütasyonda sıralama, kombinasyonda ise seçme söz konusudur.


Ü n kenarlı düzgün bir çokgenin köşegen sayısı:

Ü Herhangi üçü doğrusal olmayan, aynı düzlemde bulunan n tane noktayla;

a) Çizilebilecek doğru sayısı

b) Köşeleri bu noktalar üzerinde olan

tane üçgen çizilebilir.

Ü Aynı düzlemde birbirine paralel olmayan n tane doğru en çokfarklı noktada kesişirler.

Ü Aynı düzlemde bulunan doğrulardan n tanesi birbirine paralel ve bu n tane doğruya paralel olmayan diğer m tane doğru da birbirine paraleldir.



Düzlemde kenarları bu doğrular üzerinde olan

tane paralelkenar oluşu

A. TANIM
A ¹ Æ ve B ¹ Æ olmak üzere, A dan B ye bir b bağıntısı verilmiş olsun.
A nın her elemanı B nin elemanlarıyla en az bir kez ve en çok bir kez eşleniyorsa bu bağıntıya fonksiyon denir.
"x Î A ve y Î B olmak üzere, A dan B ye bir f fonksiyonu
f : A ® B ya da x ® f(x) = y biçiminde gösterilir. A ya fonksiyonun tanım kümesi, B ye de değer kümesi denir.


Yukarıda A dan B ye tanımlanan f fonksiyonu
f = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 2)}
biçiminde de gösterilir.
Ü
Her fonksiyon bir bağıntıdır. Fakat her bağıntı fonksiyon olmayabilir.
Ü
Görüntü kümesi değer kümesinin alt kümesidir.
Ü
s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,
i) A dan B ye nm tane fonksiyon tanımlanabilir.
ii) B den A ya mn tane fonksiyon tanımlanabilir.
iii) A dan B ye tanımlanabilen fonksiyon olmayan bağıntıların sayısı 2m × n � nm dir.
Ü
Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak için, y eksenine paralel doğrular çizilir. Bu doğrular fonksiyonun belirttiği eğride en az bir ve en çok bir noktayı kesiyorsa verilen bağıntı x ten y ye bir fonksiyondur.


B. FONKSİYONLARDA İŞLEMLER
A Ç B ¹ Æ olmak üzere,
fonksiyonları tanımlansın.
<LI style="FONT-WEIGHT: bold">(f + g) : A Ç B ® , (f + g)(x) = f(x) + g(x)
<LI style="FONT-WEIGHT: bold">(f � g) : A Ç B ® , (f � g)(x) = f(x) � g(x)
<LI style="FONT-WEIGHT: bold">(f × g) : A Ç B ® , (f × g)(x) = f(x) × g(x)
"x Î A Ç B için, g(x) ¹ 0 olmak üzere,

c Î olmak üzere,
(c × f) : A ® , (c × f)(x) = c × f(x) tir.
C. FONKSİYON ÇEŞİTLERİ
1. Bire Bir Fonksiyon
Bir fonksiyonda farklı elemanların görüntüleri de farklıysa fonksiyon bire birdir..
BBuna göre, bire bir fonksiyonda,
"x1, x2 Î A için, x1 ¹ x2 iken f(x1) ¹ f(x2) olur.
Diğer bir ifadeyle,
"x1, x2 Î A için, f(x1) = f(x2) iken
x1 = x2 ise, f fonksiyonu bire birdir.
Ü
s(A) = m ve s(B) = n (n ³ m) olmak üzere,
A dan B ye tanımlanabilecek bire bir fonksiyonların sayısı,


2. Örten Fonksiyon
Görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyonlara örten fonksiyon denir.
Ü
f : A ® B
f(A) = B ise, f örtendir.
Üs(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen bire bir örten fonksiyonların sayısı,
m! = m × (m � 1) × (m � 2) × ... × 3 × 2 × 1 dir.

3. İçine Fonksiyon
Örten olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir.
Ü
İçine fonksiyonun değer kümesinde eşlenmemiş eleman vardır.
Ü
s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen içine fonksiyonların sayısı mm � m! dir.

4. Birim (Etkisiz) Fonksiyon
Her elemanı kendisine eşleyen fonksiyona birim fonksiyon denir.

ise, f birim (etkisiz) fonksiyondur.
Ü
Birim fonksiyon genellikle I ile gösterilir.

5. Sabit Fonksiyon
Tanım kümesindeki bütün elemanları değer küme-sindeki bir elemana eşleyen fonksiyona sabit fonksiyon denir.
Ü
"x Î A ve c Î B için,
f : A ® B
f(x) = c
ise, f sabit fonksiyondur.
Ü
s(A) = m, s(B) = n olmak üzere,
A dan B ye n tane sabit fonksiyon tanımlanabilir.

6. Çift ve Tek Fonksiyon

f(�x) = f(x) ise, f fonksiyonu çift fonksiyondur.
f(�x) = �f(x) ise, f fonksiyonu tek fonksiyondur.
Ü
Çift fonksiyonların grafikleri Oy eksenine göre simetriktir.
ÜTek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir.
D. EŞİT FONKSİYON
f : A ® B
g : A ® B
Her x Î A için f(x) = g(x) ise, f fonksiyonu g fonksiyonuna eşittir.

E. PERMÜTASYON FONKSİYON
f : A ® A
olmak üzere, f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f fonksiyonuna permütasyon fonksiyon denir.
A = {a, b, c} olmak üzere, f : A ® A
f = {(a, b), (b, c), (c, a)}
fonksiyonu permütasyon fonksiyon olup
biçiminde gösterilir.


F. TERS FONKSİYON
f : A ® B, f = {(x, y)|x Î A, y Î B} bire bir ve örten fonksiyon olmak üzere,
f�1 : B ® A, f�1 = {(y, x)|(x, y) Î f} fonksiyonuna f nin ters fonksiyonu denir.

(x, y) Î f ise, (y, x) Î f�1 olduğu için,
y = f(x) ise, x = f�1(y) dir.
Ayrıca, (f�1)�1 = f dir.

(f�1)�1 = f dir. Ancak, (f�1(x))�1 ¹ f(x) tir.


f fonksiyonu bire bir ve örten değilse, f�1 fonksiyon değildir.


f : A ® B ise, f�1 : B ® A olduğu için, f nin tanım kümesi, f�1 in değer kümesidir. f nin değer kümesi de, f�1 in tanım kümesidir.

f(a) = b ise, f�1(b) = a dır.
f�1(b) = a ise, f(a) = b dir.




Ü
y = f(x) fonksiyonunun grafiği ile y = f�1(x) in grafiği
y = x doğrusuna göre birbirinin simetriğidir.

Ü olmak üzere,

Ü olmak üzere,


G. BİLEŞKE FONKSİYON
f : A ® B, g : B ® C fonksiyonları tanımlansın.
f ve g yi kullanarak A kümesinin elemanlarını C kümesinin elemanlarına eşleyen fonksiyona g ile f nin bileşke fonksiyonu denir.

Buna göre,
f : A ® B ve g : B ® C olmak üzere, gof : A ® C fonksiyonuna f ile g nin bileşke fonksiyonu denir ve g bileşke f diye okunur.
Ü
(gof)(x) = g[f(x)] tir.

Bileşke işleminin değişme özeliği yoktur.
Bu durumda, fog ¹ gof dir.
Bazı fonksiyonlar için fog = gof olabilir. Ancak bu �fonksiyonlarda değişme özeliği yoktur.� gerçeğini değiştirmez.

Ü
Fonksiyonlarda bileşke işleminin birleşme özeliği vardır.
Bu durumda (fog)oh = fo(goh) = fogoh olur.
Ü
I birim fonksiyon olmak üzere,
foI = Iof = f ve
f�1of = fof�1 = I dır.
Ü
f, g ve h fonksiyonları bire bir ve örten olmak üzere,
(fog)�1 = g�1of�1 ve
(fogoh)�1 = h�1og�1of�1 dir.
Ü
(fog)(x) = h(x)
ise, f(x) = (hog�1)(x) dir.
ise, g(x) = (f�1oh)(x) tir.



� f�1 (x) = f(x) tir.
� (fof) (x) = x
� (fofof) (x) = f(x)
� (fofofof) (x) = x
...


H. FONKSİYONUN GRAFİĞİ
Bir fonksiyonun elemanlarına analitik düzlemde karşılık gelen noktaların kümesine bu fonksiyonun grafiği denir.
f : A ® B, f = {(x, y)|x Î A, y Î B, y = f(x)}

(a, b) Î f
olduğundan
f(a) = b dir.
Ayrıca, f�1(b) = a dır.

Ü


Yukarıdaki y = f(x) fonksiyonunun grafiğine göre,
f(�3) = 3, f(�2) = 1, f(�1) = 2, f(0) = 2, f(1) = 1,
f(2) = 0, f(3) = 2, f(4) = 1, f(5) = 0 dır